MLO-gwsc — 自己エネルギーを MLO 表現で内挿する QSGW（開発中）
状況（2026-09-30）: LiTi₂O₄ の 6³ と 9³ を LDA から 40 反復まで回した（§3.5）。GPU の行列積の精度（tf32・fp32・fp64）による MLO バンドの差は 数 meV 以下で、速い tf32 で回してよい。10 反復ではまだ収束の途中で、6³ は 20 反復から占有側のバンドに肩ができ、9³ は 40 反復でかなりなめらかになる。 MLO 表現で描いたバンドでは、
sigmの内挿で出ていたメッシュ点の間のこぶ（内挿のリンギング）が大きく減る（§3.2）。
既定では何も変わらない（
gwsc --mloを付けたときだけ有効）。反強磁性の対称性（symgrpaf）との併用は確かめていない（§5）。 経過の記録は ecalj のMD/research_kotani_log.md（2026-09-24〜29）、設計の詳細はMD/kBT/sigma_mlo_design.md§9–13。
このページは §1 理論、§2 設定と実行、§3 実例: LiTi₂O₄ の 3 部です。
1. 理論
1.1 何を解決するのか
QSGW の静的自己エネルギー は GW の メッシュ上で計算し、任意の ではメッシュ点の値から k 空間で内挿して使います（実空間に落として戻すフーリエ内挿）。 従来はこれを MTO 基底の行列（sigm）として実空間に落とし、Bloch 和で戻しています。 MTO 基底は非直交で、EH と EH2 がほぼ線形従属、裾も長いため、 は遠方で減衰しなかったりします （LiTi₂O₄ では Ti 3d のブロックが BvK セルの端まで 0.3–0.6 meV で頭打ち）。k空間で言うとフラットでないということ。すなわち、 メッシュ点の「間」にだけ、数十 meV、大きいときは数百 meV のこぶがバンドに乗ります。 メッシュを細かくしてもこぶは小さくならず、LiTi₂O₄ ではかえって大きくなりました（§3.2）。
MLO-gwsc は同じ を MLO（MTO をもとにした局在軌道） の小さな部分空間 で表した行列にして、k 空間で内挿します。 MLO は反復ごとに作り直し、 はその MLO で書いて、同じ MLO で読み戻します（MLO Sigma インターポレーション、§1.4）。
1.2 MLO の作り方
各 で、PMT ハミルトニアンの固有状態 （固有値 ）と、MTO ブロックだけを対角化した固有状態 （固有値 ）から射影
を作り、mlo_lm で選んだ MTO のシード に当てます:
（m_hreduction.f90 の Hreduction）。 窓関数 は MLO の mlo_method = 4 で、
です（ は各反復の SCF の伝導帯の底で、金属ではほぼ ）。 = mlo_delta、 = mlo_wでデフォルトはともに2eV、はフェルミ関数。新たなMLOモデルのサンプルは全部この形。 エネルギー関数を含むだけだし、系の特徴量として必要なのはなので、たとえばFeとSiの２つのスラブを含むような系でもおよそ対応できるだろう。 は の形でしか入らないので、ゲージ（位相）の任意性はない。
の PMT 基底での係数を と書きます:
は保存された表ではなく、その時点のハミルトニアンに処方を当てたもので、 が変われば変わります。 反復 2 以降は 入りの から作ります。標準の MLO 法も __HamiltonianPMT（senex を足した後の ）から作るので、それと同じです。 とにかくMLOはハミルトニアン（基底関数も含め）が正規メッシュ点の上にあれば作れる。
- 結局のところ、MLO 法は「すごく簡単なやり方」に着地した。要するに式 (1) の完全系展開に、低エネルギー部分をしっかり取り出すための が入り込んだだけ。 すなわち「（MTO のような）良い局在基底を選んでおけば、低エネルギー側をレスペクトする射影で十分にきれいにモデル化できる」ということ。 対称性について悩む必要も、収束について悩む必要もない。スラブなどでは空球（empty sphere）に対応する MLO を持ち込む必要もあるが、これは他の方法でも同様である。
- 式 (3) の を より下にしない理由: APW 基底を入れずに MTO 基底だけでバンドを描くと、基底が足りない分だけ エネルギーが高めに出てしまう。MTO の状態 に当たる PMT の固有状態は より下にあるので、 PMT の固有状態のエネルギーが 以下ならば取り込む、とする。
1.3 を MLO で持ち、PMT に戻す
GW が出すのはバンド添字の です。これを MLO に移します:
これは文字どおり です（窓 の外の状態は落ちるので、厳密なのは窓の中だけ）。 PMT 基底は非直交で、その重なり行列を と書きます。 固有状態を と展開すると（ は係数の行列）、式 (4) から です。 を実空間の （QMLO_SigRs）に落として k 空間で内挿し、任意の で PMT 基底へ戻して に足します（getsenex）。 一般の（非直交の）MLO では、両側に重なりの逆が要ります（2026-10-02 から MLO は Löwdin で直交化した関数なので 、式 (7) は 。mlo §6）:
は MLO 部分空間への射影子です（式 (1) の とは別物）。k 空間で内挿するのは だけです。
注意: 従来の
sigmは MTO ブロックに擬似逆で射影した量で、両側に を畳み込んだ形です。 の大きさを と直接比べることはできません。
1.4 MLO Sigma インターポレーション — は、それを書いた で読む
反復ごとに MLO を作り直し、その反復の を MLO 表現の行列 にして k 空間で内挿し （メッシュ点の値から任意の の値を作る）、PMT 基底に戻すときも同じ MLO を使います。 これをMLO Sigma インターポレーション（MLO Sigma interpolation）と呼びます。この形は次の 2 つの事実から決まります。
- k 空間で内挿できるのは MLO 表現の行列で、 は内挿できない。 は行も列も MLO の添字で、 どの でも同じチャネルを指すので、k 空間で内挿できます。一方 は PMT 基底の行を持ちます。
pwmode = 11（ 打ち切り）では APW の集合そのものが で変わるので、同じ行番号が ごとに別の関数を指し、 k 空間で内挿できません（式 (6) の も同じ）。同じ理由で も内挿できません。 - の数値は、それを書いた の刻印を持つ。 イテレーション で と一本の鎖で作られるので、 式 (7) で戻すときは必ず同じ を使わなければなりません。別の で読むと、同じ数値を別の関数の間の行列要素として 読み替えることになり、作用素そのものが変わります。
したがって、書く側で作った を、あとで読む全ての で保存しておきます（ は が変われば変わるので、読む側で作り直すと別物になる）。 1 反復の中では「読む用 」と「書く用 」が同時に要るので、置き場が 2 つあります。
| ファイル | 中身 |
|---|---|
QMLO_z | 現行の QMLO_SigRs が書かれた （読む用） |
__QMLO_zNew | この反復の から作った （書く用） |
どちらも 1 本のファイルで、GW の スピン ごとに固定長のレコード（、スピン、ndimh と ）を持ちます。 段 a' は各プロセスが自分の のレコードを MPI-IO で書き、getsenex は最初に索引だけ読んで、要る のレコードだけを読みます。 mlo が QMLO_SigRs を書いた直後に __QMLO_zNew → QMLO_z と改名（昇格）するので、 と は常に組になっています。 「あとで読む全ての 」を保存済みの点に収めるため、nkabc = n1n2n3 = mlo_nkabc（SCF の ⊂ GW の ）を要求します。 gwsc が計算の前に確かめ、違えば止まります。 保存済みに無い で読もうとした場合も、既定では止まります（ を別の基底で読むことになるため）。
1.5 1 反復の流れ（gwsc 1 --mlo）
連鎖の最初に一度だけ、lmf --writeham --mlo と mlo --mlo で MLO の索引を HamRsMLO に作ります。 索引とは、どの MTO チャネルを種にするか（ndimMTO 本）です。 はそのチャネル上の行列なので、索引は連鎖を通じて固定です（--mlofreeze）。 窓の基準（ と伝導端）は索引に含めず、段 a' が毎反復その反復の SCF の efermi.lmf から読みます（2026-09-26 から。§2.4）。 一方、係数 は毎反復①で作り直し、ハミルトニアンに追随します。
| # | 実行 | について |
|---|---|---|
| ① | lmf --jobgw=1 | getsenex が QMLO_SigRs（）を QMLO_z の で読む → 対角化 → （GW に渡る）。続く段 a' で、 入りの から を作って __QMLO_zNew へ、 を __cmlo.data へ |
| ② | heftet, hbasfp0, hvccfp0, hsfp0_sc, hgw | 。MLO とは無関係 |
| ③ | hqpe_sc | 式 (5) で → 混合（§1.6）→ __QMLO_Sig。従来の sigm も並べて書く |
| ④ | mlo --mlofreeze --mlo | 対称化 → 全 BZ → FFT → QMLO_SigRs（Σ だけ。MLO の添字は HamRsMLO から） |
| ⑤ | 昇格（④の mlo の中） | __QMLO_zNew → QMLO_z。ここで「現行の 」が に切り替わる |
| ⑥ | lmf（SCF） | getsenex が を で読む |
1.6 混合
MLO 経路で SCF が読むのは QMLO_SigRs（__QMLO_Sig から作る）で、sigm ではありません。 sigm は hqpe_sc で Anderson 混合されますが、 も混合しないと MLO 連鎖だけ実効 β=1 で回ることになり、 LiTi₂O₄ では 3 反復目に大きく行き過ぎました（§3.3）。 には sigm と同じ Anderson 混合（β = [gw] mixbeta）がかかります（2026-09-30 から既定。ECALJ_MLO_MIX=0 で切る。 それより前のコードでは ECALJ_MLO_MIX=1 を付けたときだけ混合した）。
- 履歴は
__QMLO_mixsig（sigm側は__mixsig）。混合の入力 （その反復が実際に使った ）は、QMLO_SigRsを既約 で Bloch 和したもの（getsenexが に入れたのと同じ行列）。sigmの混合でのsigmと同じ役なので、履歴は捨ててもよい - 初回（LDA から）は 倍から始まる: 前の が無いので （）から混合し、iteration 1 は 。
sigmも も 倍で、既定の なら全量が入る（LiTi₂O₄ は 。mixbeta）
1.7 MLO バンドの描き方
途中の反復の状態を のまま任意の で見るには、SCF が解いたハミルトニアンの MLO 模型を作って解きます （ecalj の Samples/kBT/LiTi2O4/draw_mloband.sh）。
- スナップショットで
lmf --writeham --mkprocar --noinv --mloを走らせ、保存済みのQMLO_zで、SCF と同じ をメッシュ点で書き出す（ が 1 点でも見つからなければ止まる） QMLO_SigRsを退けてから（ は 1 の に入っているので二重に足さない）、凍結なしのmlo --mloで MLO 模型を作り、経路上で解く
メッシュ点では SCF の そのもので、その間は標準の MLO のフーリエ内挿です。メッシュ点の間で を作り直しません。 次の 3 通りでは MLO バンドになりません。
| 経路 | 何が起きるか |
|---|---|
job_band（--mlo 無し） | 従来 sigm の内挿で描かれる。MLO 連鎖の密度に従来の を合わせたもので、SCF を動かした ではない（比較用には使える） |
job_band --mlo | の探索が を文字どおり比べるので、経路の が保存済みの既約点と対称等価でも見つからない。 抜きの から作り直すので、Γ 以外は無効 |
job_mlo --mlofreeze --mlo | 凍結 HamRsMLO（連鎖の最初の LDA の と ）に今の QMLO_SigRs（今の ）を足すので、2 つの基底が混ざり 0.3–0.5 eV ずれる |
job_band は描画用の を efermi.lmf.job_band に書き、段 a' が窓の基準を読む efermi.lmf には触れません（job_dos・job_fermisurface も同じ。 --efermi= で与えることもできる）。連鎖のディレクトリの中で描いても窓は動きません。
2. 設定と実行
2.1 ctrlg.<sname>.toml
LiTi₂O₄ の 6³ で使った設定（9³ はメッシュの 3 か所を [9, 9, 9] にしただけ）:
[bz]
nkabc = [6, 6, 6] # [gw] n1n2n3 と同じにする（必須）
[ham]
pwmode = 11 # |q+G| 打ち切り（既定）
[gw]
n1n2n3 = [6, 6, 6]
mixbeta = 0.5 # sigm と Sigma^MLO の混合
t_sigmaw = 1000.0 # (K) Sigma の中間準位の Fermi-Dirac の幅（既定）
t_tetrakbt = -992.4 # (K) 負: chi0 は T=0 のまま Im chi0 を FD およそ 1000 K と同じ幅の Gaussian で均す（以前の SmearX0 = 0.0057 Ha）。金属の W の極を均す（[kBT](./kBT) の「実用の設定」）
[mlo]
mlo_method = 4 # 既定
mlo_delta = 2.0 # (eV) 既定
mlo_w = 2.0 # (eV) 既定
mlo_nkabc = [6, 6, 6] # n1n2n3 と同じにする（必須）
mlo_lm = """
1 Li 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 Li 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 Ti 1 2 3 4 5 6 7 8 9
...
14 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9
"""mlo_lmのgwinit既定は、Z ≤ 10 が s,p（lm 1–4）、Na 以降が s,p,d（1–9）、4f が価電子の原子は f（10–16）も（2026-10-01 から。MLO §1）。 半内殻の局所軌道は帯の位置で自動に入る（MLO §1 の表）。 LiTi₂O₄ では全原子を s+p+d（126 本）にした。既定のままなら 76 本（Li と O が s,p）。76 本との優劣は決着していない（§5）- (サイト, lm) あたり MLO は原則 1 本まで。
mlo_lm2（EH2）を同じ lm に足すと、射影で同じ関数に潰れて がほぼ特異になる （例外は空隙に広がった伝導帯の底がある陽イオンの s,p: MLO §9 の基準 2。MLO-QSGW では試していない）。 式 (7) は を 2 回挟むので効き方は 2 乗（NiO の Ni d で条件数 ）
2.2 実行
gwsc 10 -np 60 -np2 2 --gpu --prec=fp32 --ntqxx --mlo liti2o4 # 10 反復
gwsc 10 -np 60 -np2 2 --gpu --prec=tf32 --prec-final=fp32:2 --ntqxx --mlo liti2o4 # 途中は tf32、最後の 2 反復は fp32gwsc N --mlo はそのまま N 反復まとめて回してよい（gwsc 1 を N 回回すのとは厳密には同じでないが、収束させれば ehf で 0.1〜0.2 meV の差、研究ログ 2026-09-25 00:06）。 GPU の精度 --prec=tf32|fp32|fp64 と、行列積の方法の自動選択は ecaljgpu と gwsc を参照（--prec=fp32 は旧来の --mp --fp32 と同じ）。 LiTi₂O₄ の hgw 1 回は、6³ で fp32 367 秒・tf32 173 秒（kt1、RTX 5090 × 2、2026-09-27 夜）、9³ で fp32 2990 秒・tf32 1975 秒（同日午前の版）。 tf32 は Σc の最後の行列積だけを 10 ビットの仮数の入力（RTX 5090 では FP16）にしたもので、 ±1 eV の Re Σc は倍精度と 1.3 meV 以内（MD/ForDevelopers.md §11.2）。
- ecalj の
Samples/kBT/LiTi2O4/run_gwsc10.sh <tag> <入力> <bindir>はgwsc 10を回し、最後の状態でsigm描画と MLO バンドを描く。run_snap.sh <tag> <niter> --mloはgwsc 1を繰り返しながら毎反復のスナップショット（再開に要るもの一式）と 2 つのバンドを残す （LDA の後に混合ファイルが 1 つでも残っていれば止まる）。run_gwsc10.shはRUNS_DIR（作業場所）とGPUS（既定は GPU 0 の 1 枚）で指定でき、 入力はSamples/kBT/LiTi2O4/input/qmlo。run_snap.shには kt1 のパスが書き込んであるので、使うときは書き換える
2.3 各反復の確認
見るもの（run_snap.sh の鎖では Samples/kBT/LiTi2O4/check_iter.sh が、watch_iter.sh が反復の終わりに退避したログで調べる）。 gwsc N でまとめて回したときは、gwsc が各反復の終わりに QSGW.<N>run/ へ lgw・lqpe・llmfgw01・lmlo_sigr・llmf（llmf.<N>run）を写すので （2026-09-28 から）、後からそこを下の表のとおりに grep する（check_iter.sh は run_snap の steps.log の形を前提にしている）:
| 項目 | どこを見るか | 正常 |
|---|---|---|
| SCF が MLO 経路に入ったか | llmf の MLO Sigma interpolation ON の行数 | 点を持つプロセスの数 |
| GW ドライバが MLO 経路に入ったか | llmfgw01 の同じ行 | GW の 点（QPLIST.jobgw1）を持つプロセスの数。iteration 1 は 0（まだ QMLO_SigRs が無い） |
| 昇格 | lmlo_sigr の m_HamPMT: promoted __QMLO_zNew -> QMLO_z | 毎反復 1 回 |
| 混合 | lqpe の x_0 from QMLO_SigRs = と SigmMLO_out、SigmMLO_mixed | iteration 1 は ... No mixing file が 2 行、x_0 = F、mixed/out = β。2 以降は x_0 = T |
| の取りこぼし | m_sigmlo: WARNING chi~ MISS | 出ない（出れば既定で止まる） |
| SCF | llmf の反復回数 | nit の上限に達していない |
行数はメッシュと並列数で決まるので、別のメッシュの値を当てはめてはいけません。 -np 60 で、6³ は既約 16 点なので 16、GW の 72 点で 36。9³ は 35 点で 35、200 点で 50。 これより少なければ、一部のプロセスが MLO 経路に入らず従来の sigm に落ちています。
2.4 使うファイルと、残すもの
印: ● MLO-QSGW 特有（gwsc --mlo でだけ出てくる）、○ MLO 法一般（job_mlo でも出てくる）、無印は通常の QSGW と共通。 保存: 結果 = 計算結果として残す、再開 = 連鎖を続けるのに要る、— = 反復の中だけで使う作業ファイル。 ①〜⑥ は §1.5 の段。
| ファイル | 印 | 保存 | 中身 |
|---|---|---|---|
ctrlg.<sname>.toml | 結果・再開 | 設定 | |
rst.<sname> | 結果・再開 | 密度（各 SCF の lmf が書く） | |
efermi.lmf | 結果・再開 | 最後の SCF の と伝導帯の下端。段 a' が窓の基準として毎反復読む | |
sigm, QPU, QPD | 結果（sigm は再開にも） | 従来表現の （比較用の描画、sigm の混合の ）、QP エネルギー表 | |
__mixsig | 再開 | sigm の混合の履歴 | |
QMLO_SigRs | ● | 結果・再開 | 。MLO-QSGW の そのもの（④が書く）。混合の もここから作る |
QMLO_z | ● | 結果・再開 | QMLO_SigRs が書かれた （1 本のファイル）。必ず QMLO_SigRs と組で |
HamRsMLO | ○ | 結果・再開 | MLO の索引（連鎖の最初に作り、以後固定）。途中で消すと作り直されて QMLO_SigRs と合わなくなる |
band_MLO_spin1.dat | ○ | 結果 | MLO バンド（§1.7） |
llmf, llmfgw01, lqpe, lmlo_sigr | 結果 | ログ（§2.3 の確認に使う） | |
__QMLO_mixsig | ● | — | の混合の履歴。消すと Anderson の外挿が 1 回切れるだけ（ は QMLO_SigRs から作る） |
__QMLO_Sig | ● | — | ③が書き④が読む |
__QMLO_zNew | ● | — | ①の段 a' が書く今回の （1 本のファイル、MPI-IO） |
__QMLO_zdump_* | ● | — | 診断用（ECALJ_ZMLO_DUMP=1） |
__cmlo.*, __HamiltonianGW(.info) | ○ | — | ①が書く と PMT の 。連鎖の中で __cmlo を書くのは①だけ（job_mloW・job_mlo_magnon では mlo --mlo が __HamiltonianGW から書く） |
HamiltonianPMTInfo | ○ | — | ④の mlo が毎反復読む（格子、k メッシュ、対の表）。無ければ gwsc が起動時に lmf --writeham で作り直す |
__HamiltonianPMT(.info) | ○ | — | 索引を作る mlo --mlo（連鎖の最初）だけが読む。④は読まない（2026-09-27） |
__amlo.* | ○ | — | 索引を作る mlo --mlo が書くが、読むものはない（④は書かない） |
__ の付くファイルは、gwsc の呼び出しの間ならすべて消してかまいません（__mixsig と __QMLO_mixsig を消すと、Anderson の外挿が 1 回切れるだけです）。 sigm は値としては SCF に使いませんが、無いと gwsc も lmf も LDA からやり直すので、再開には必須です。 run_snap.sh のスナップショットは、「結果」の多くに sigm.<sname>、__atm.<sname>、syml.<sname> などを加えたものです。
2.5 オプションと環境変数
| 効果 | |
|---|---|
--mlo | MLO 経路全体のスイッチ。無ければ MLO 関係は何も動かない |
--mlofreeze | 既存の HamRsMLO の索引を使い、QMLO_SigRs だけ書き直す（gwsc が反復内の mlo に渡す） |
ECALJ_MLO_MIX=0 | の Anderson 混合を切る（§1.6。既定は混合する） |
ECALJ_MLO_ALLOW_REBUILD=1 | QMLO_z に無い で、その場の から作り直すのを許す（既定は止まる）。基底が混ざるので診断用 |
ECALJ_MLO_NOSIG=1 | QMLO_z を無視して、全 でその場の から作り直す。診断用 |
ECALJ_MLO_NOCACHE=1 | QMLO_z も使い回しも止め、呼ばれるたびに作り直す（旧動作）。診断用 |
ECALJ_ZMLO_DUMP=1 | 段 a' の を __QMLO_zdump_sugw に、getsenex の を __QMLO_zdump_getsenex に書く。同じ反復の a' と⑥の SCF では一致すべき |
ECALJ_SIGMLO_RT=1 | メッシュ点で、 の Bloch 和が __QMLO_Sig を再現するか |
ECALJ_SIGMLO_CHECK=1 | 各 で、MLO 経路の senex と従来 sigm 経路の senex の差の最大値を出す |
3. 実例: LiTi₂O₄
3.1 設定
| 項目 | 値 |
|---|---|
| MLO | 126 軌道 = 14 原子（Li₂Ti₄O₈）× (s+p+d) |
| メッシュ | nkabc = n1n2n3 = mlo_nkabc = 6³ と 9³ |
| 混合 | [gw] mixbeta = 0.5（sigm と の両方） |
| 基底 | pwmode = 11 |
| 窓 | mlo_method = 4、 eV（既定） |
| 計算機 | kt1（RTX 5090 × 2）、gwsc 1 --mp --fp32 を 10 回（2026-09-26 のコード） |
| 窓の基準 | 連鎖の最初（LDA）の に固定（いまのコードは各反復の SCF の値、§1.2） |
| 1 反復 | 6³: 950–1000 秒、9³: 約 5300 秒（89 分）。hgw が 86 %（6³）、94 %（9³）で、MLO のための処理は 1 % 程度。2026-09-27 の高速化の後は 6³ の fp32 で 555 秒 |
| 比較の基準 | 従来 QSGW（MTO）6³、pwmode = 1、β = 0.5、10 反復（LDA の行だけ pwmode = 11） |
3.2 バンド
t2g（バンド 33–44）、Γ→X 211 点。列は左から 従来 QSGW 6³ / 6³ MLO-QSGW を sigm で描いたもの / 6³ の MLO バンド / 9³ MLO-QSGW を sigm で描いたもの / 9³ の MLO バンド、行は上から LDA、iteration 1–10。 赤い × は のメッシュ点（内挿が厳密な点）。緑は一番下のバンド、青は Γ→X の中ほどで膨れるバンドで、 交差をまたいで追跡し、膨らみが 50 meV 以上の反復だけ色を付けています。
- 膨れるバンド（青）のこぶは MLO バンドでは出ない。 同じ状態を
sigmの内挿で描くと（2・4 列目）、メッシュ点の間にこぶができる。 6³ では iteration 3、9³ では iteration 3〜6 で大きく揺れ、7 以降は収まる。 6³ の MLO バンドには一度も出ず、9³ の MLO バンドでも iteration 5 以降は出ない - 9³ の方がこぶが大きい（
sigm描画）。従来 QSGW でも、メッシュを密にすると占有 t2g のさざ波が大きくなった。 が遠方で減衰しないので、周期セルが大きいほどその成分を多く拾って内挿する、と見ています - 一番下のバンド（緑）には、序盤の反復で階段状の肩が出る（段の間隔はメッシュ間隔に近い）。 こちらは
sigm描画にも MLO バンドにも出る - 従来 QSGW の列には iteration 9〜10 でも青が出る。同じ 6³ の MLO-QSGW の 2 列には出ない
3.3 収束
反復ごとの t2g の変化（左 max、右 rms）。9³ は実線、6³ は破線。
| rms [meV] | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 9³ MLO バンド | 7.4 | 3.2 | 5.2 | 3.2 |
| 6³ MLO バンド | 6.9 | 2.9 | 6.2 | 3.9 |
| 従来 6³ | 6.7 | 6.6 | 4.7 | 6.5 |
- どちらのメッシュも、従来と同じ水準（rms 3–7 meV）まで下がる。全 10 反復で §2.3 の確認はすべて合格
- を混合しないと（β=1 相当）、3 反復目に rms 120–150 meV 跳ね上がる（従来は 35 meV）。 混合すれば従来と同じ落ち方になる（3 反復目は 31 meV）
- メッシュを 6³ → 9³ にしたときのバンドの動き（iteration 10）は、MLO バンドで rms 13 meV、
sigm描画で 27 meV。 MLO 表現の内挿の方がメッシュに鈍い
3.4 従来との差
iteration 10 の MLO バンドと従来 6³ の差は、6³ で rms 46 meV（平均 +30）、9³ で rms 49 meV（平均 +34）です。 6³ で見ると一様なずれではなく、占有の 2 本が 7–13 meV 低く、非占有の t2g が 22–61 meV 高い。t2g 全体の幅は 1505 対 1516 meV でほぼ同じです。 メッシュ点の上でも 43 meV 違うので、内挿の差ではなく状態の差です。 ただし比較の基準は pwmode = 1、MLO 側は pwmode = 11 です。LDA での pwmode の差（rms 5.6 meV）だけでは説明できませんが、 QSGW で増幅された可能性は残ります。 の表現の差か pwmode の差かは、pwmode = 11 の従来連鎖を回さないと分けられません（未実施）。
3.5 40 反復まで（2026-09-29）
§3.1 の設定（ただし 2026-09-27 以後のコード: 窓の基準は各反復の SCF の値、 は t_tetrakbt = -992.4、t_sigmaw = 1000）で、 LDA から gwsc 10 --prec=tf32、続けて 1 反復ずつ 40 反復まで回した。設定の表、図と数値の全部は ecalj の Samples/kBT/LiTi2O4/README.md。
図 3.5-1. t2g の MLO バンド（Γ→X）。左が 6³、右が 9³。上から LDA、反復 10、20、30、40
表 3.5-1. 前の反復からの MLO バンドの変化の最大（meV）と、一番下のバンドの波打ちの目安（LDA からの補正を cos の 3 次までで当てはめた残差の最大）
| 反復 | t2g の変化 | 占有の 2 本の変化 | 波打ち | |
|---|---|---|---|---|
| 6³ | 10 | — | — | 12.7 |
| 6³ | 20 | 13.6 | 8.7 | 26.0 |
| 6³ | 40 | 3.3 | 0.8 | 26.7 |
| 9³ | 10 | — | — | 17.2 |
| 9³ | 20 | 9.6 | 2.1 | 14.4 |
| 9³ | 40 | 5.1 | 0.2 | 12.9 |
- 精度: 同じ入力の tf32 と fp32 の MLO バンドの差は、6³ の反復 10 で最大 0.8 meV、9³ の反復 10〜12 で最大 1.2 meV（t2g）。 fp64 と fp32 は 6³ の 1 反復目で最大 1 meV。1 反復の時間は 9³ で tf32 21 分、fp32 47 分
- 6³: 反復 10 ではなめらかだが、20 から一番下のバンドの = 0.35〜0.45 に肩ができ、40 でも残る。t2g の中ほどのバンドの膨らみは 反復 22 の 131 meV が最大で、40 で 49 meV まで減る（まだ 1 反復に 2〜3 meV ずつ減っている）
- 9³: 反復 10〜15 では一番下のバンドが Γ のすぐ外で Γ より 6〜12 meV 下がるが、40 で 1.5 meV になる。 メッシュ点を結ぶ内挿の曲線は、40 反復でもわずかに波打って見える
- 6³ と 9³ に共通のメッシュ点（Γ と = 2/3）では、40 反復の一番下のバンドの差は 4 meV 以下。メッシュ点の間では最大 37 meV
4. 落とし穴
| 誤り | なぜだめか / 正しくは |
|---|---|
を混合しない（ECALJ_MLO_MIX=0、2026-09-29 までのコードでは ECALJ_MLO_MIX=1 の付け忘れ） | 序盤に行き過ぎる（§3.3） |
job_band の図を MLO の結果と思う | 従来 sigm の内挿。MLO バンドは §1.7 の方法で描く |
job_band --mlo や job_mlo --mlofreeze で MLO バンドを描く | §1.7 の表のとおり無効 |
| 別のメッシュの確認値（印の行数、所要時間）を当てはめる | 正常を異常と判定してしまう。値はメッシュと並列数で決まる（§2.3） |
5. 未解決・今後
pwmode = 11の従来連鎖を 10 反復回し、§3.4 の差を表現の差とpwmodeの差に分ける- 反強磁性の対称性（
symgrpaf）: QSGW は 2026-09-30 から、GW のプログラムが両方のスピンを計算する形で動く（ecaljSamples/AFsymmetry）。--mloとの併用は確かめていない - §3.2〜§3.4 の図と数値は 2026-09-26 のコード（窓の基準が連鎖の最初の ）のもの。いまのコードの 9 反復後の MLO バンドはそれと rms 8 meV（最大 23 meV）、ほぼ一様な 7〜10 meV の下がり（窓の基準が 0.55 eV 動いたため、2 反復目から分かれる）。§3.5 はいまのコード
--prec-final=fp32:N（最後だけ fp32）は、まだ走らせて確かめていない（tf32 と fp32 の差は §3.5 のとおり 1 meV ほど）- 6³ の肩（§3.5）が収束した解の性質なのか、さらに反復すると消えるのかは分かっていない
- MLO の本数の影響: 76 本（
gwinit既定）、126 本、全 MTO（154 本）を、 の混合ありで比べていない - 空球（empty sphere）を入れると振動が減り安定するか（未検証）
- の探索を対称等価な まで広げる（
job_band --mloがメッシュ点で使えるようになる）。 収束後に PMT バンドを MLO 経由で描くには、 ごとに 入りの で を作り直して自己無撞着にする - 速さ: 9³ の
hgwの残りの 8 割は Σc の行列積で、すでにこの GPU の単精度の実力近くで回っている（ecaljgpu）。 を頂点 から直接作れば行列積の片側が になるが、 LiTi₂O₄（ = 126、ntq= 159）では 1 割程度しか減らない